Yesterday, while I was surfing I bumped into these Incompleteness theorems by Gödel. I was shocked to read them and some important applications that they have. The first one is:

For any consistent formal, computably enumerable theory that proves basic arithmetical truths, an arithmetical statement that is true but not provable in the theory can be constructed. That is, any effectively generated theory capable of expressing elementary arithmetic cannot be both consistent and complete.

Here, "theory" refers to an infinite set of statements, some of which are taken as true without proof (these are called axioms), and others (the theorems) that are taken as true because they are implied by the axioms. "Provable in the theory" means "derivable from the axioms and primitive notions of the theory, using standard first-order logic". A theory is "consistent" if it never proves a contradiction. "Can be constructed" means that some mechanical procedure exists which can construct the statement, given the axioms, primitives, and first order logic. The resulting true but unprovable statement is often referred to as "the Gödel sentence" for that theory. In fact, there are infinitely many statements in the theory that share with the Gödel sentence the property of being true but not provable from the theory. "Elementary arithmetic" consists merely of addition and multiplication over the natural numbers. (from wikipedia).

These theorem can be used in a language as well. Sorry but it is necessary to swich in my native language.

 

Il quesito logico e' questo:

"Questa frase e' falsa"

Dicendo Questa frase essa si rivolge a se stessa. E', in poche parole, una frase che ha come oggetto il suo stesso enunciato.

Bene. Se qualcuno vi dicesse: Il mare e' giallo, direste che la frase e' vera o sbagliata? E se, allo stesso modo, qualcuno dicesse: Il pianete terra e' di forma sferica, direste che e' vero o sbagliato? Le risposte sono ovviamente palesi, ma servono per farci capire la singolarita' della frase di prima.

Ebbene: Questa frase e' falsa, e' vera o falsa?

Se la consideriamo vera allora dobbiamo conseguirne che cio' che enuncia e' vero, ma cio' che enuncia e' che essa stessa e' falsa. Allo stesso modo se la consideriamo falsa non possiamo far altro che constatare che questo e' proprio cio' che essa dice di se stessa, cioe' che e' falsa, e quindi essa e' vera.

La soluzione? La soluzione e' che Questa frase e' falsa non e' ne' vera ne' falsa, e' soltanto indecidibile per noi darle un valore assoluto di verita' o falsita'.

Nel linguaggio ordinario quindi esiste una semplice frase che sfugge alla netta contrapposizione Vero-Falso, una frase che in un solo istante distrugge tutte le ambizioni di chi (nei primi del 900, non e' una questione dei nostri giorni) pensava di poter creare dei sistemi chiusi e coerenti. Sarebbe troppo complicato spiegare o definire cosa queste ultime parole significano... e' comunque importante capire che non c'e' un sistema (in questo caso "il linguaggio") assolutamente perfetto, logicamente coerente.

So nothing is perfect. It is impossible to find a perfect solution, a perfect model, a perfect man (gli uomini sono tutti uguali!!sorry, again Italian), a perfect friend....

Maybe everybody knows this but Gödel gave a demonstration. Crazy, crazy, crazy people. Or crazy world? I don't know. I can't decide.